第137章 三次丢番图方程的一种特殊解法

刚开始看到这个题目，教室里所有人都有点没绷住，他们已经不止一次的在朋友圈或者什么地方看到这种图，它们往往都带着个十分惊悚的标题，比如什么“95%麻省理工毕业生无法解决的问题”。

    实际上这些问题要么很空洞，要么偷换概念，要么就是无关紧要的脑筋急转弯。

    但这道题显然不是！

    对于在这个教室里接受集训的同学们来说，香蕉苹果菠萝什么的自然不会是阻碍，他们早就将问题转化成了数学符号。

    实际上这道题是让他们求解a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4这个方程的整数解。

    这显然是一类丢番图方程问题。

    任何一个对丢番图方程有所了解的数学研究者都知道，一次的丢番图方程很简单，二次的也已经被理解的十分透彻，一般都能用相对初等的方法解决，三次的就要涉及汪洋一般的深奥理论和数不胜数的开放问题，至于四次，简单来说就是难得没边。

    题目给出的就是一个三次丢番图方程。

    或许题目给的不太明显，但只要简单做一个变换，去掉分母，我们就能得到a3+b3+c3-3(a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2)-5abc=0.

    邓乐岩埋头苦算，他之前接触过丢番图方程，知道解这类丢番图方程需要用到椭圆曲线，但具体应该如何求解，他还没有什么思路。

    王潇同样是如此。

    李泽翰则是在一旁抓耳挠腮，他之前一直专注学习初等数学，为CMO做准备，不过才刚接触高等数学。

    丢番图方程他是知道的，可要怎么求解，他却有些束手无策。

    至于其他人，更是如同无头的苍蝇一般在草稿纸上推演，却根本没什么头绪。

    不过在他们看来，既然老师拿出这道题，自然应该是有解的，他们不相信自己会解不出来，身为天才，他们有这样的自信。

    原本热烈的抢答氛围一变，整个教室竟无一人举手，一片静悄悄，同学们都疯狂的在草稿纸上演算起来。

    徐志远看向教室中陷入沉思的同学们，嘴角露出一丝坏坏的笑意。

    是时候给这些小家伙们一点数学震撼了！

    可惜此时所有人都沉浸在计算之中，没有人注意到他的这一丝坏笑。

    【你的数学等级由2级99%提升到100%】

    【你的数学等级提升到3级，自由属性点+1】

    沉浸在学习中的陈辉眼前忽然闪过一道弹幕，喜悦油然而生，数学熟练度总算是肝到3级了，也正如他所料，数学熟练度提升到3级后再次获得了一个自由属性点。

    没有犹豫，

    “创造力，给我加点！”

    从得到第一个自由属性点以来，已经过去半年多，陈辉终于决定将它投入到这个之前从没关注过的属性上。

    之前他接触到的数学，都是需要通过所学的知识去求解一些题目，解决一些常规的问题。

    但最近，他越来越体会到创造力的重要性。

    如果没有舒尔茨提出的凝聚态数学，他不可能解决老师在朗兰兹纲领证明上遇到的困难，如果没有朗兰兹提出的一系列猜想，他也不可能解决分数陈类的微分几何实现。

    不管是凝聚态数学还是朗兰兹纲领，都是之前从来没有出现过的数学工具。

    到了如今的阶段，做数学研究和解决数学问题，再也不是对所学知识的运用，在某些情况下，需要自己创造出新的工具，才能解决问题！

    【宿主：陈辉

    洞察力4级：（4.1/5）

    判断力1级：（1.8/2）

    创造力1级：（1.5/2）

    记忆力3级：（3.6/4）】

    创造力的提升并没有带来什么独特的变化，这也是陈辉对这个数据面板感到困惑的地方，似乎每一次升级加点都不会给他带来翻天覆地的变化，他甚至都感受不到这种变化的发生。

    但或许，这些变化早就在他学习的每一分每一秒，时刻发生着，所以才感受不到。

    做完这些，陈辉才注意到投影仪上的那道题目，还有身旁正抓耳挠腮的李泽翰。

    “有点意思！”

    只一眼，还没有遭受朋友圈和网络污染的陈辉就看懂了这道题目的意思。

    他虽然早就拥有手机了，但除了查资料上网，他平时很少关注其他的无关讯息，即便有，也都是主动搜索，而非被动接受。

    “老大能解？”

    李泽翰察觉到动静，抬起头来，目光灼灼的看向陈辉。

    “可以试试。”

    原本陈辉以为这次集训不会有有价值的东西，所以根本没听，但这道题，显然是很有难度的。

    他喜欢有难度的题目！

    听到这句话，小组内的其他几人也都看了过来。

    他们反正没什么头绪，索性都停了笔，看向陈辉的草稿纸。

    “同学们，有人算出答案了吗？”

    过了几分钟后，徐志远看了看时间，已经九点五十四，快要下课了，他从来不是个拖堂的老师，当然，他也从来不是个喜欢解谜的老师，他会给出答案，然后让同学们自己回去思考解题方法，留下些悬念，欲知后事如何，明天再来讲解。

    这时，有人举手，“老师，非正整数解可以吗？比如a=-1，b=1，c=0这种？”

    “当然不行，必须要正整数解才行。”

    徐志远摇头，这道题的精髓就在于正整数解，难度也在正整数解。

    如果是有理解，那这样的特解随时可以写出一大堆来。

    但找到这道题的有理解，是打开这道题大门的第一步，可惜，眼前这些小家伙并不知道。

    “好了，这道题的解为……”

    徐志胜又等了两分钟，发现没有其他人举手后，走回到讲台，拿起粉笔，一边说一边写到。

    “大家可以自己思考一下求解思路，明天我再来给大家讲一讲这一类丢番图方程。”

    因为解实在太长，第一个解还没写完，他的话已经说完。

    虽然这次集训是为IMO做准备，但徐志远觉得，培养孩子们对数学的兴趣，远比拿什么IMO金牌来得有用。

    IMO金牌每年都有很多，但最后能成为优秀数学家的，却不多。

    甚至，还有些IMO金牌选手因为形成了固定思维范式，对初等数学很擅长，可一旦接触到高等数学，反而无法适应。

    比如他之前就知道有一个IMO金牌选手，保送到燕北大学，却读了六年本科，因为他很多科都挂科了。

    他还跟那些IMO保送清北后就打游戏，荒废学业被退学的选手不一样，他学习非常刻苦，不是在刷题就是在刷题的路上，但他不重视高等数学的定义定理，而是用初等数学的方法和技巧去解决高等数学的问题。

    这样虽然也能解决一些问题，但显然，这是用小米加步枪去解决飞机和大炮应该解决的问题，事倍功半，最后还不一定能解决。

    所以，他被困在了本科。

    或者说，他被自己的思维范式困住了，如果走不出来，这个孩子的一生或许就废了。

    能够拿到IMO金牌，这样的人不可能没有天赋，这样的结局，让徐志远感觉很是可惜。

    所以，他决定在这些孩子们参加IMO之前，先给他们看看飞机大炮是什么样的，来一次军火展示！

    徐志远一边对着手机写答案，一边在脑海中胡思乱想，忽然，他听到背后有动静传来。

    只见一个学生站了起来，然后开口说道，“”

    “？”

    教室里所有人都停下了手上的动作，抬头看向陈辉。

    即便他们已经知道这个家伙很强，但听到这个答案，他们依旧觉得这家伙像个傻子。

    他们上一次听到有人念出这么多数字，还是一位记忆力超群的家伙在背π小数点后一千位……

    他们的确做不出来这道题，但他们觉得，这个答案太离谱了些。

    所以，所有人的目光又转向了徐志远。

    徐志远也有些茫然。

    老实说，这个答案他也记不住，三个八十多位的正整数，他也没有去记住的必要。

    但他很快反应过来，这个家伙既然能说出这些数字，说明，他真的算出来了？

    这怎么可能？

    徐志远很怀疑，因为他也算不出来，这个答案，他是通过计算机算出来的，这个计算量已经超出了人脑的极限。

    但他认识这个学生，陈辉！

    他听过一些这位CMO满分选手的事迹，包括燕北大学那场研讨会。

    或许，他真的能够算出来？！

    徐志远忽然有些期待。

    如果他真能不利用计算机就算出来，那么，这个方法是否能够推广到一般的情况，用来求解这一类丢番图方程呢？

    如果能的话，那这将是一个振奋人心的成果！

    不过很快他就为自己这个想法感到可笑，他竟然试图让一个高中生去发明一种三次丢番图方程的特殊解法。

    “可以给大家讲解一下你的求解方法吗？”

    虽然不抱希望，徐志远还是决定听听陈辉的思路。

    “我也是受到刚才那位同学的启发。”

    陈辉看向刚才举手的那位同学，他也有些兴奋，不管任何时候，解出一道难题总是会让人感到兴奋，充满成就感。

    所以他不介意跟大家分享他的解题思路，“我们可以很轻易的找到一组有理数特解，a=-1，b=1，c=0，有了有理数特解，就说明我们要求的这个方程实际上是一个椭圆曲线！”

    “？”

    那位被陈辉目光注视的同学满脸茫然，眼神中透露出清澈的愚蠢，“我有这样想过吗？”

    “哦，这里的椭圆曲线是指域上亏格为1的光滑射影曲线。对于特征不等于2的域，它的仿射方程可以写成  y2=x3+ax2+bx+c，复数域上的椭圆曲线为亏格为1的黎曼面，莫德尔证明了整体域上的椭圆曲线是有限生成交换群，这是著名的BSD猜想的前提条件，阿贝尔簇是椭圆曲线的高维推广……”

    考虑到教室里的都只是参加IMO的高中生，而不是当时在燕北大学的教授们，陈辉特地解释了一句。

    但他不解释还好，这一解释，教室中茫然的小眼神就更多了。

    “说得就像你解释了我们就能听得懂一样！”不少人暗暗腹诽。

    陈辉却没有注意到同学们的反应，眼中神采奕奕，仿佛有无数数字和符号在跳动，“有了这个共识后，接下来我们可以将这个椭圆曲线转化成威尔斯特拉斯形式，也就是y2=x3+109x2+224x。”

    “对了，这里一定有同学会疑惑，原方程不是有三个未知数吗？怎么到这里就只有两个未知数了？”

    “因为这个方程是齐次的，这意味着如果（a，b，c）是方程的一个特解的话，那（7a，7b，7c）也是它的解，这意味着这个方程看上去像是三维的，但它实际上只有两维。

    在几何中，它对应着一个面，一个三元方程一般定义一个两维的面，一般来说，k个n元方程定义一个d维的流形，d=n-k，这个面是由一条过原点的线旋转形成的，可以通过截取的单平面来理解，所以由此也可以得知，这是一条射影曲线。”

    陈辉似乎真的很想让同学们能够听懂，能够学到知识，尽量让自己讲得通俗易懂，甚至为了让自己的过程更加清晰明了，他还走出座位，来到讲台，拿起粉笔在黑板上划出了这条椭圆曲线的示意图。

    “如图，右边的‘鱼尾’连续延伸至正负无穷，左边的封闭椭圆曲线就是我们解决问题的契机，给定这个方程的任意解（x，y），我们都可以通过变换，还原出所求的a，b，c，这样我们就构造出了一个双有理数等价。”

    讲到这里，教室里已经99%的同学都开始犯晕，只有邓乐岩、王潇等寥寥几个人还能勉强跟上。

    但他们此时也已经皱起了眉头。

    因为椭圆曲线问题本身就是个庞然大物，看似已经做了很多事情，但问题似乎并没有得到解决。

    徐志远则是饶有兴致的看向陈辉，如果说之前他还认为陈辉不可能解决这个问题，但现在，他觉得，这小子或许还真的找到了些诀窍。

    “再回到构造出来的椭圆曲线，我们可以容易再上面找到一个很好的有理数点，x=100，y=260，这并不是正整数解，但不要着急，接下来我们利用弦切技巧进行加法，生成其它的有理数点。”

    “通过作P点的切线，找到它和曲线再次相交的点，以此增加P点的值，得到2P=（8836/25，-950716/125），这样我们可以得到a，b，c的一组新解，但显然，他们依旧不是正整数解。

    但没关系，我们继续迭代，计算3P、4P，一直计算到9P，最后我们就能得到a，b，c的正整数解了！”

    说完，陈辉扔下粉笔，笑着说道，“计算稍微复杂了点，但整体思路还是很简单的！”

    (本章完)


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